\chapter{四川大学历年试题详解}
\section{2010试题}
\centerline{ 四川大学 }
\centerline{ 2010年攻读硕士学位研究生入学考试试题}
考试科目：量子力学\\
科目代码：690\\
适用专业：理论物理、粒子物理与原子核物理、原子与分子物理、等离子物理、凝聚态物理、
光学、生物医学物理、应用电子物理、放射物理及技术\\
\begin{flushright}
（试题共2页）\\
（答案必须写在答题纸上，写在试题上不给分）
\end{flushright}
一、简答及证明（共50分）\\
1、（10分）沿直线运动的粒子波函数为$\psi(x)=\cfrac{1+ix}{1+ix^2}$.\\
（1）请将$\psi$归一化。\\
（2）请问最容易发现粒子的空间位置在什么地方？为什么？\\[5mm]
2、（10分）原子内电子的量子态由$n,l,m_l$及$m_s$四个量子数表征。试说明：\\
（1）它们是什么量子数？各自确定什么物理量？\\
（2）当$n,l$一定时，不同的量子态数目为多少？当$n$一定时，不同的量子态数目为多少？\\[5mm]
3、（10分）请问角动量算符是否为线性算符或厄米算符，为什么？\\[5mm]
4、（10分）如果$\lambda$为线性算符A的一个本征值，请问$\lambda^2$是$A^2$的本征值吗？
为什么？设$f(\lambda)$是$\lambda$的多项式，请问$f(\lambda)$是不是$f(A)$的一个本征值，
为什么？\\[5mm]
5、（10分）试由位置与动量的测不准关系$\Delta p_x\Delta x\ge\cfrac{\hbar}{2}$，导出
能量和时间的测不准关系$\Delta E\Delta t\ge\cfrac{\hbar}{2}$。\\[5mm]
二、计算和证明（100分）\\
1、（20分）设在$t=0$时刻，氢原子处于状态：
$$|\psi_0\rangle=\cfrac{1}{\sqrt10}\left[2|100\rangle+|210\rangle\sqrt2|211\rangle+\sqrt3|21,-1>\right]$$
求：\\
（1）在$|\psi_0\rangle$态下能量的平均值。\\
（2）在$t>0$时，体系处于$|lm>=|11\rangle$态的几率。\\[5mm]
2、（20分）粒子被关闭在球对称势阱
$$V(r)=\begin{cases}0&(r\ge a)\\ \infty &(r>a)\end{cases}$$
中，求粒子的球对称定态波函数及能量。\\[5mm]
3、（20分）试证明：\\
（1）$(\sigma\cdot\vec{A})(\sigma\cdot\vec{B})=\vec{A}\cdot\vec{B}+i\sigma\cdot
(\vec{A}\times\vec{B})$，其中$\vec{A},\vec{B}$为与Pauli矩阵$\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$
对易的任意矢量。\\
（2）$(\sigma\cdot\vec{p})^2=\vec{p}^2,(\sigma\cdot\vec{l})^2=\vec{l}^2-\hbar\sigma
\cdot\vec{l}$，其中$\vec{p}$为三维动量，$\vec{l}$为三维角动量。\\[5mm]
4、（20分）一个质量为$m$的粒子在一维势阱
$$V(x)=\begin{cases}\infty&(x<-2a,x>2a)\\
0&(-2a<x<-a)\\0&(a<x<2a)\\V_0&(-a<x<a)\end{cases}$$
中运动（见图）。把$V_0$当做对在无限深方势阱中运动粒子的微扰，求粒子基态能量的一级近
似值。\\[5mm]
5、（20分）用Born近似法求一质量为m的粒子被Coulomb势
$$V(r)=\cfrac{a}{r}\qquad(a>0\text{斥力},a<0\text{引力})$$
散射时的散射截面。


\newpage
\section{2009试题}
\centerline{ 四川大学 }
\centerline{ 2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题}
考试科目：量子力学\\
科目代码：690\\
适用专业：理论物理、粒子物理与原子核物理、原子与分子物理、等离子物理、凝聚态物理、
光学、生物医学物理、应用电子物理、放射物理及技术\\
\begin{flushright}
（试题共2页）\\
（答案必须写在答题纸上，写在试题上不给分）
\end{flushright}
一、简单（共40分）\\
1、（3分）在$B=1.25\times10^{-2}T$的匀强磁场中沿半径为$R=1.66cm$的圆轨道运动的$\alpha$
粒子的德布罗意波长是多少？（普朗克常量$\hbar=6.63\times10^{-34}J\cdot s$，
基本电荷$e=1.60\times10^{-19}C$）\\[5mm]
2、（5分）原子内电子的量子态由$n,l,m_l$及$m_s$四个量子数表征。当$n,l,m_l$一定时，不同
的量子态数目是多少？当$n,l$一定时，不同的量子态数目为多少？当$n$一定时，不同的量子态数目
为多少？\\[5mm]
3、（3分）根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩在外磁场方向上的投影为$L_z=m_l\hbar$，
当角量子数$l=2$时，$L_z$的可能取值为何？\\[5mm]
4、（3分）有一种原子，在基态时$n=1$和$n=2$的主壳层都填满电子，$3s$次壳层也填满电子，
而$3p$壳层只填充一半。这种原子的原子序数是多少？\\[5mm]
5、（10分）处于静止状态的自由电子是否能吸收光子，并把全部能量用来增加自己的动能？
为什么？\\[5mm]
6、（8分）根据量子力学理论，氢原子中电子的运动状态可用$n,l,m_l,m_s$四个量子数来描述。
试说明它们各自确定什么物理量？\\[5mm]
7、（8分）根据泡利不相容原理，在主量子数$n=2$的电子壳层上最多可能有多少个电子？试
写出每个电子所具有的四个量子数$n,l,m_l,m_s$之值。\\[5mm]
二、计算和证明（110分）\\
1、（20分）如图，粒子在深度为$V_0$，宽度为a的直角势阱中运动，求：\\
（1）阱口刚好出现一个束缚态能级（即$E\approx V_0$）的条件；\\
（2）束缚态能级总数，并和无限深势阱作比较。\\
【缺图】【析】2009年828量子力学第二题。曾题集1.4题。\\[5mm]
2、（25分）完成以下证明：\\
（1）设$\vec{A},\vec{B}$为矢量算符，$F$为标量算符，证明
\begin{align*}
  [F,\vec{A}\cdot\vec{B}]&=[F,\vec{A}]\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot[F,\vec{B}]\\
  [F,\vec{A}\times\vec{B}]&=[F,\vec{A}]\times\vec{B}+\vec{A}\times[F,\vec{B}]
\end{align*}
（2）以$\vec{r},\vec{p}$表示位置和动量算符，$\vec{l}=\vec{r}\times\vec{p}$为轨道角动量算符
，$\hat{F}=F(\vec{r},\vec{p})$为由$\vec{r},\vec{p}$构成的标量算符。证明
$$[\hat{F},\vec{l}]=i\hbar\vec{r}\times\cfrac{\partial\hat{F}}{\partial \vec{r}}
-i\hbar\cfrac{\partial \hat{F}}{\partial \vec{p}}\times\vec{p}$$
3、（25分）质量为$\mu$的粒子在中心力场$V(r)=-\cfrac{\alpha}{r^s}\qquad\alpha>0$中运动，
证明存在束缚态的条件为$0<s<2$，再进一步证明在$E\sim0^-$附近存在无限多条束缚态能级。\\[5mm]
4、（20分）一维谐振子，其能量算符为$H_0=-\cfrac{\hbar^2}{2m}\cfrac{d^2}{dx^2}+
\cfrac{1}{2}m\omega^2x^2$，设此谐振子受到微扰作用$H'=\cfrac{\lambda}{2}m\omega^2x2
\qquad |\lambda|\ll 1$。试求各能级的微扰修正（三级近似），并和精确解比较。\\[5mm]
5、（20分）质量为$\mu$的粒子束被球壳$\delta$势场散射，$V(r)=V_0\delta(r-a)$，
在高能近似下，用玻恩近似计算散射振幅和微分截面。

\newpage
\section{2010解答}
一、简答及证明（共50分）

1、（10分）沿直线运动的粒子波函数为$\psi(x)=\cfrac{1+ix}{1+ix^2}$。

（1）请将$\psi$归一化。

（2）请问最容易发现粒子的空间位置在什么地方？为什么？

【答】

（1）
\begin{align*}
  \int_{-\infty}^{+\infty}A^2\psi^*\psi dx&=
  \int_{-\infty}^{+\infty}A^2\cfrac{1-ix}{1-ix^2}\cdot\cfrac{1+ix}{1+ix}dx=
  \int_{-\infty}^{+\infty}A^2\cfrac{1+x^2}{1+x^4}dx
= 2A^2\int_0^{\infty}\cfrac{1+x^2}{1+x^4}dx=1\\
  \int_0^{\infty}\cfrac{1+x^2}{1+x^4}dx&=\int_0^{\infty}\cfrac{\frac{1}{x^2}+1}
  {\frac{1}{x^2}+x^2}dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\cfrac{d(x-\frac{1}{x})}{(x-\frac{1}{x})^2+2}
  =\int_{-\infty}^{+\infty}\cfrac{dt}{t^2+2}
  =\cfrac{\sqrt2}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\cfrac{d\frac{t}{\sqrt2}}{(\frac{t}{\sqrt2})^2+1}\\
  &=\cfrac{\sqrt2}{2}\arctan\cfrac{t}{\sqrt2}\Big|^{-\infty}_{+\infty}=\cfrac{\sqrt2}{2}(\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{\pi}{2})
  =\cfrac{\sqrt2\pi}{2}
\end{align*}
$$\int_{-\infty}^{+\infty}A^2\psi^*\psi dx=\sqrt2\pi A^2=1 \qquad A=\cfrac{1}{(\sqrt2\pi)^{\frac{1}{2}}}$$
即：
 $$ \psi(x)=\cfrac{1}{(\sqrt2\pi)^{\frac{1}{2}}}\cfrac{1+ix}{1+ix^2}$$
（2）
\begin{align*}
|\psi(x)|^2=A^2\cfrac{1+x^2}{1+x^4}\qquad
\cfrac{d|\psi(x)|^2}{dx}=A^2\cfrac{2x(1+x^4)-(1+x^2)4x^3}{(1+x^4)^2}=
A^2\cfrac{2x-4x^3-2x^5}{(1+x^4)^2}=0
\end{align*}
即：$x^5+2x^3-x=0$，有：
$$\begin{cases}x=0\\x^4+2x^2-1=0\end{cases}$$
解$x^4+2x^2-1=0$，得，$x^2=\sqrt2-1$；
将$x=0$代人$|\psi(x)|^2$得，$|\psi(x)|^2=A^2$；
将$x^2=\sqrt2-1$代人$|\psi(x)|^2$得，$|\psi(x)|^2=A^2\cfrac{\sqrt2}{4-2\sqrt2}
=\cfrac{1}{2(\sqrt2-1)}A^2>A^2$。
所以，当$x=\pm(\sqrt2-1)$时，最容易发现粒子。

【评】这题完全考察的就是数学功底了！可以看到，即使第一问没做出来，也不影响第二问，所以考试时一定要沉着冷静，发挥好自己的能力，做出会做的。

2、（10分）原子内电子的量子态由$n,l,m_l$及$m_s$四个量子数表征。试说明：
（1）它们是什么量子数？各自确定什么物理量？

（2）当$n,l$一定时，不同的量子态数目为多少？当$n$一定时，不同的量子态数目为多少？

【答】

（1）$n$为主量子数，确定能量；$l$为角动量量子数，确定角动量；
$m_l$为磁量子数，确定角动量的取向；$m_s$是自旋量子数，确定自旋的取向。

（2）当$n,l$一定时，考虑自旋，不同量子态数目为：$2(2l+1)$；当$n$一定时，考虑自旋，不同量子态数目为：$2n^2$。

3、（10分）请问角动量算符是否为线性算符或厄米算符，为什么？

【答】

（1）是线性算符，因为这是表示力学量的算符必须满足态叠加原理的要求。

（2）是厄米算符。证明：
\begin{align*}
  \vec{l}&=l_x\vec{i}+l_y\vec{j}+l_z\vec{k}  \qquad l_x=yp_z-zp_y\\
  (\varphi,l_x\phi)&=(\varphi,(yp_z-zp_y)\phi)=(\varphi,yp_z\psi)-(\varphi,zp_y\phi)
  =(y\varphi,p_z\phi)-(z\varphi,p_y\phi)\\
  &=(p_zy\varphi,\phi)-(p_yz\varphi,\phi)=((p_zy-p_yz)\varphi,\psi)
\end{align*}
  $y$与$p_z$，$z$与$p_y$对易，有：
  $$(\varphi,l_x\phi)=(l_x\varphi,\phi)$$
即：$l_x$为厄米算符；同理有，$l_y,l_z$为厄米算符；由厄米算符之和仍为厄米算符，有：$\vec{l}$是厄米算符。

【评】这题考查的是量子力学基本功。无它，记住定义，按定义来就行了。

4、（10分）如果$\lambda$为线性算符A的一个本征值，请问$\lambda^2$是$A^2$的本征值吗？为什么？设$f(\lambda)$是$\lambda$的多项式，请问$f(\lambda)$是不是$f(A)$的一个本征值，为什么？

【答】

（1）$\lambda^2$是$A^2$的本征值.$A\psi=\lambda\psi$，$A^2\psi=AA\psi=A\lambda\psi=\lambda A\psi=\lambda^2\psi$。

（2）$f(\lambda)$是$f(A)$的一个本征值。
$$a_nA^n\psi=a_nA^{n-1}\lambda\psi=a_n\lambda A^{n-1}\psi=\cdots=a_n\lambda^n\psi$$
$$F(A)\psi=\sum_na_nA^n\psi=\sum_na_n\lambda^n\psi=F(\lambda)\psi$$

5、（10分）试由位置与动量的测不准关系$\Delta p_x\Delta x\ge\cfrac{\hbar}{2}$，导出能量和时间的测不准关系$\Delta E\Delta t\ge\cfrac{\hbar}{2}$。

【答】
\begin{align*}
  E&=\cfrac{p_x^2}{2m}\qquad \Delta E=\cfrac{2p_x\Delta p_x}{2m}=\cfrac{p\Delta p_x}{m}\\
  \Delta t&=\cfrac{\Delta x}{v}\qquad \Delta E\Delta t=\cfrac{p_x}{mv}\Delta x\Delta p_x=\Delta x\Delta p_x\ge\cfrac{\hbar}{2}
\end{align*}
【评】关键是要理解好数学里的微分！

二、计算和证明（100分）

1、（20分）设在$t=0$时刻，氢原子处于状态：
$$|\psi_0\rangle=\cfrac{1}{\sqrt10}\left[2|100\rangle+|210\rangle+\sqrt2|211\rangle+\sqrt3|21,-1\rangle\right]$$
求：

（1）在$|\psi_0\rangle$态下能量的平均值。

（2）在$t>0$时，体系处于$|lm>=|11\rangle$态的几率。

【析】氢原子能级公式必须得记着。

【解】

（1）氢原子能级：$E_n=-\cfrac{e^2}{2a_0}\cfrac{1}{n^2}\qquad a_0=\cfrac{\hbar^2}{me^2}$
\begin{align*}
E_1=-\cfrac{e^2}{2a_0} \qquad E_2=-\cfrac{e^2}{8a_0}\qquad
\langle\psi_0|\psi_0\rangle=\cfrac{4}{10}+\cfrac{1}{10}+\cfrac{2}{10}+\cfrac{3}{10}=1
\end{align*}
即：$|\psi_0\rangle$已归一化。

$|\psi_0\rangle$态下能量平均值为：
$$\cfrac{4}{10}E_1+\cfrac{1}{10}E_2+\cfrac{2}{10}E_2+\cfrac{3}{10}E_2=
-\cfrac{4}{10}\cfrac{e^2}{2a_0}-\cfrac{6}{10}\cfrac{e^2}{8a_0}=-\cfrac{11}{40}\cfrac{e^2}{a_0}$$

（2）氢原子态为定态，概率分布与时间无关。在$t>0$时，体系处于$|lm\rangle=|11\rangle$态的几率为：
$$\left|\langle n11|\psi_0\rangle \right|^2=\left|\cfrac{\sqrt2}{\sqrt{10}}\right|^2=\cfrac{1}{5}$$

2、（20分）粒子被关闭在球对称势阱
$$V(r)=\begin{cases}0&(r\ge a)\\ \infty &(r>a)\end{cases}$$
中，求粒子的球对称定态波函数及能量。

【析】这题很烦，我这里先只算S态的情况。与周世勋对应的课后习题讲解、曾谨言的书上都有详细解答。

【解】

定态Schr\"{O}dinger方程：
$$\left[\cfrac{\hat{p}^2}{2m}+V(r)\right]\psi=E\psi$$
球坐标下：
$$\left[\cfrac{p_r^2}{2m}+\cfrac{l^2}{2mr^2}+V(r)\right]\psi=E\psi$$
分离变量有：
$$\left[\cfrac{1}{r}\cfrac{\partial^2}{\partial r^2}r+\cfrac{2m}{\hbar^2}
(E-V(r))-\cfrac{l(l+1)}{r^2}\right]R_l=0$$
令$R_l=\cfrac{\chi_l}{r}$，有：
$$\chi''_l+\left[\cfrac{2m}{\hbar^2}(E-V(r))-\cfrac{l(l+1)}{l}\right]\chi_l=0$$
（1）首先考虑$l=0$（S态）的情况。此时径向方程为：
$$\chi_0''+\left[\cfrac{2m}{\hbar^2}(E-V(r))\right]\chi_0=0$$
在势阱内$(0\le r<a)$，有：
$$\chi_0''+k^2\chi_0=0 \qquad k=\sqrt{\cfrac{2mE}{\hbar^2}}(E>0)$$
由边界条件：$\chi_0(0)=0,\chi_0(a)=0$，有：
\begin{align*}
  \chi_0=A\sin kr \qquad
  \sin ka=0\Longrightarrow ka=(n_r+1)\pi\qquad n_r=0,1,2,3\cdots
\end{align*}
即：
\begin{align*}
  \chi_{n_r,0}(r)&=\sqrt{\cfrac{2}{a}}\sin \cfrac{(n_r+1)\pi r}{a}\qquad 0\le r<a\\
  E=E_{n_r,0}&=\cfrac{\pi^2\hbar^2(n_r+1)^2}{2ma^2},\qquad n_r=0,1,2,\cdots
\end{align*}
（2）当$l\ne0$时，【暂略】

【评】这题就是死背吧，记住这些微分方程的解！

3、（20分）试证明：

（1）$(\sigma\cdot\vec{A})(\sigma\cdot\vec{B})=\vec{A}\cdot\vec{B}+i\sigma\cdot
(\vec{A}\times\vec{B})$，其中$\vec{A},\vec{B}$为与Pauli矩阵$\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$
对易的任意矢量。

（2）$(\sigma\cdot\vec{p})^2=\vec{p}^2,(\sigma\cdot\vec{l})^2=\vec{l}^2-\hbar\sigma
\cdot\vec{l}$，其中$\vec{p}$为三维动量，$\vec{l}$为三维角动量。

【析】第一问、第二问分别是曾书自旋章，自旋算符与Pauli算符节，p285，练习2、练习3。
第一问也在曾题集6.19题有解。

【证明】

（1）
\begin{align*}
  \vec{\sigma}\cdot\vec{A}&=\sigma_xA_x+\sigma_yA_y+\sigma_zA_z\qquad
  \vec{\sigma}\cdot\vec{B}=\sigma_xB_x+\sigma_yB_y+\sigma_zB_z\\
  (\vec{\sigma}\cdot\vec{A})(\vec{\sigma}\cdot\vec{B})&=(\sigma_xA_x+\sigma_yA_y+\sigma_zA_z)
  (\sigma_xB_x+\sigma_yB_y+\sigma_zB_z)\\
  &=\sigma_xA_x\sigma_xB_x+\sigma_xA_x\sigma_yB_y+\sigma_xA_x\sigma_zB_z+\sigma_yA_y\sigma_xB_x\\
  &+\sigma_yA_y\sigma_yB_y+\sigma_yA_y\sigma_zB_z+\sigma_zA_z\sigma_xB_x+\sigma_zA_z\sigma_yB_y
+\sigma_zA_z\sigma_zB_z\\
  &=A_xB_x+i\sigma_zA_xB_y-i\sigma_yA_xB_z-i\sigma_zA_yB_x+A_yB_y+i\sigma_xA_yB_z\\
  &+i\sigma_yA_zB_x-i\sigma_yA_zB_y+A_zB_z\\
  &=\vec{A}\cdot\vec{B}+i\sigma\cdot(\vec{A}\times\vec{B})
\end{align*}
（2）

由（1）有：$(\vec{\sigma}\cdot\vec{p})^2=p^2+i\vec{\sigma}\cdot(\vec{p}\times\vec{p})$
又$\vec{p}\times\vec{p}=0$，即：$(\vec{\sigma}\cdot\vec{p})^2=p^2$。
同理，也是利用（1），有：$(\vec{\sigma}\cdot\vec{l})^2=l^2+i\vec{\sigma}\cdot(\vec{l}\times\vec{l})$。
又$\vec{l}\times\vec{l}=i\hbar\vec{l}$，即：$(\vec{\sigma}\cdot\vec{l})^2=\hat{l}^2-\hbar\vec{\sigma}\cdot\vec{l}$。 

4、（20分）一个质量为$m$的粒子在一维势阱
$$V(x)=\begin{cases}\infty&(x<-2a,x>2a)\\
0&(-2a<x<-a)\\0&(a<x<2a)\\V_0&(-a<x<a)\end{cases}$$
中运动（见图）。把$V_0$当做对在无限深方势阱中运动粒子的微扰，求粒子基态能量的一级近
似值。

【析】考试的时候，势阱$V(x)=\begin{cases}\infty&(x<-2a,x>2a)\\
0&(-2a<x<2a)\end{cases}$的本征函数、能级，可以直接写出来。否则整个过程太烦了。求该本征函数、能级，是量子力学里最最基本的。

在势阱中，定态Schr\"{o}dinger方程：
$$\left[-\cfrac{\hbar^2}{2m}\cfrac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x)\right]\psi=E\psi
\qquad \psi''+\cfrac{2mE}{\hbar^2}\psi=0$$
$$\psi''+k^2\psi=0 \qquad \psi(x)=A\sin kx+B\cos kx$$
$$\begin{cases}
  \psi(-2a)=0\\
  \psi(2a)=0\\
\end{cases}
\Longrightarrow
\begin{cases}
  -A\sin 2ak+B\cos 2ak=0\\
  A\sin 2ak+B\cos 2ak=0
\end{cases}
\Longrightarrow
\begin{cases}
  A\sin 2ak=0\\
  B\cos 2ak=0
\end{cases}
$$
有：
$$\begin{cases}
  A=0\\
  \cos2ak=0
\end{cases}
\Longrightarrow 2ak=n\cfrac{\pi}{2}(n\text{为奇})
\begin{cases}
  B=0\\
  \sin 2ak=0
\end{cases}
\Longrightarrow 2ak=n\cfrac{\pi}{2}(n\text{为偶})
$$
即：
$$\psi^0_n=\begin{cases}
  \cfrac{1}{\sqrt{2a}}\sin\cfrac{n\pi x}{4a}&(n\text{为偶})(-2a<x<2a)\\
  \cfrac{1}{\sqrt{2a}}\cos\cfrac{n\pi x}{4a}&(n\text{为奇})(-2a<x<2a)\\
  0&(x<-2a,x>2a)
\end{cases}
\qquad E^0_n=\cfrac{n^2\pi^2\hbar^2}{32a^2m}
$$
【解】

将$H'=V(x)=V_0\qquad(-a<x<a)$视为微扰，势阱$V(x)=\begin{cases}\infty&(x<-2a,x>2a)\\
0&(-2a<x<2a)\end{cases}$的本征函数、能级分别为：
$$\psi^0_n=\begin{cases}
  \cfrac{1}{\sqrt{2a}}\sin\cfrac{n\pi x}{4a}&(n\text{为偶})(-2a<x<2a)\\
  \cfrac{1}{\sqrt{2a}}\cos\cfrac{n\pi x}{4a}&(n\text{为奇})(-2a<x<2a)\\
  0&(x<-2a,x>2a)
\end{cases}
\qquad E^0_n=\cfrac{n^2\pi^2\hbar^2}{32a^2m}
$$
$$\psi_1^0=\cfrac{1}{\sqrt{2a}}\cos\cfrac{\pi x}{4a} \qquad
E_1^0=\cfrac{\pi^2\hbar^2}{32a^2m}$$
基态能级一级微扰项：
$$E^1_1=\rangle\psi^0_1|H'|\psi^0_1\langle=\cfrac{V_0}{2a}\int_{-a}^{+a}\cos^2\cfrac{\pi x}{4a}dx$$
\begin{align*}
  \cos 2y&=\cos^2y-\sin^2y=2\cos^2y-1 \qquad \cos^2y=\cfrac{\cos 2y+1}{2}\\
  \int_{-a}^{+a}\cos^2\cfrac{\pi x}{4a}dx&=\int_{-a}^{+a}(\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2}\cos
  \cfrac{\pi x}{2a})dx=a+\cfrac{1}{2}\int_{-a}^a\cos\cfrac{\pi x}{2a}dx=
  a+\cfrac{1}{2}\cfrac{2a}{\pi}\sin\cfrac{\pi x}{2a}\Big|_{-a}^a\\
  &=a+\cfrac{a}{\pi}[1-(-1)]=a+\cfrac{2a}{\pi}
\end{align*}
即：$E^1_1=\cfrac{V_0}{2a}(a+\cfrac{2a}{\pi})=\cfrac{V_0}{2}(1+\cfrac{2}{\pi})$

粒子基态能量的一级近似值为：
$$E_1=E_1^0+E_1^1=\cfrac{\pi^2\hbar^2}{32a^2m}+\cfrac{V_0}{2}+\cfrac{V_0}{\pi}$$

5、（20分）用Born近似法求一质量为m的粒子被Coulomb势
$$V(r)=\cfrac{a}{r}\qquad(a>0\text{斥力},a<0\text{引力})$$
散射时的散射截面。

【析】这个问题在曾谨言《量子力学》卷\Rmnum{1}第四版中13.2.3节有讲。《指导》12.7题有详解。

【解】

把点电荷的Coulomb势$$V(r)=\frac{a}{r}$$看成Yukawa势$$V(r)=\frac{ae^{-\alpha r}}{r}$$
的长程极限。
\begin{align*}
f(\theta)&=-\cfrac{2m}{\hbar^2q}\int_0^\infty V(r)r\sin qrdr=
-\cfrac{2ma}{\hbar^2q}\int_0^\infty e^{-\alpha r}\sin qrdr
=-\cfrac{2ma}{\hbar^2q}\cfrac{q}{\alpha^2+q^2}
\end{align*}
取极限$\alpha\rightarrow0$，有：
$$f(\theta)=-\lim_{\alpha\rightarrow0}\cfrac{2ma}{\hbar^2q}\cfrac{q}{\alpha^2+q^2}
=-\cfrac{2ma}{\hbar^2w^2}=-\cfrac{ma}{2\hbar^2k^2\sin^2\frac{\theta}{2}}$$



\section{2009解答}
一、简单（共40分）
1、（3分）在$B=1.25\times10^{-2}T$的匀强磁场中沿半径为$R=1.66cm$的圆轨道运动的$\alpha$粒子的德布罗意波长是多少？（普朗克常量$\hbar=6.63\times10^{-34}J\cdot s$，基本电荷$e=1.60\times10^{-19}C$）

【答】
$$Bqv=\cfrac{mv^2}{R}\Longrightarrow BqR=mv=p\qquad p=\cfrac{h}{\lambda}$$
$$\lambda=\cfrac{h}{p}=\cfrac{h}{BqR}=\cfrac{6.63\times10^{-34}}{1.25\times10^{-2}
\times2\times1.6\times10^{-19}\times1.66\times10^{-2}}m\approx9.98\times10^{-12}m$$

2、（5分）原子内电子的量子态由$n,l,m_l$及$m_s$四个量子数表征。当$n,l,m_l$一定时，不同的量子态数目是多少？当$n,l$一定时，不同的量子态数目为多少？当$n$一定时，不同的量子态数目为多少？

【答】

考虑自旋。当$n,l,m_l$一定时，不同量子态数目为2；当$n,l$一定时，不同量子态数目为$2(2l+1)$；当$n$一定时，不同量子态数目为$2n^2$。

3、（3分）根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩在外磁场方向上的投影为$L_z=m_l\hbar$，当角量子数$l=2$时，$L_z$的可能取值为何？

【答】

$l=2$时，$m$的取值为：$0,\pm1,\pm2$，有$l_z$的可能取值为：$0,\pm\hbar,\pm2\hbar$。

4、（3分）有一种原子，在基态时$n=1$和$n=2$的主壳层都填满电子，$3s$次壳层也填满电子，而$3p$壳层只填充一半。这种原子的原子序数是多少？

【答】
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
$n$取值  & 1 &\multicolumn{2}{c|}{2} &\multicolumn{3}{c|}{3}\\
\hline
$l$取值  & $0^s$ & $0^s$  & $1^p$       &  $0^s$  & $1^p$ & $2^d$\\
$m_l$取值& 0 & 0      &0,1,-1       &  0      &0,1,-1 &        \\
$m_s$个数&2  & 2      &2,2,2        &  2      &2,2,2  &\\
\end{tabular}
\end{center}

该原子为：$3S^2P^3$，原子序数为15。

5、（10分）处于静止状态的自由电子是否能吸收光子，并把全部能量用来增加自己的动能？为什么？

【答】

不能，假设能。动量守恒有，$P_{\text{电}}=P_{\text{光}}$；
能量守恒有，$\cfrac{P^2_{\text{电}}}{2m}=h\nu=\cfrac{hC}{\lambda}=P_{\text{光}}C$；
即：$\cfrac{P_{\text{电}}}{2m}=C\quad P_{\text{电}}=mv_{\text{电}}\Longrightarrow
v_{\text{电}}=2C$，电子的速度为两倍光速，故不能。

6、（8分）根据量子力学理论，氢原子中电子的运动状态可用$n,l,m_l,m_s$四个量子数来描述。试说明它们各自确定什么物理量？

【答】

$n$确定能量，$l$确定角动量，$m_l$确定角动量在$z$方向的取向，$m_s$确定自旋取向。

7、（8分）根据泡利不相容原理，在主量子数$n=2$的电子壳层上最多可能有多少个电子？试写出每个电子所具有的四个量子数$n,l,m_l,m_s$之值。

【答】

最多可能有8个电子，分别是：
$$(2,0,0,\frac{1}{2})\quad (2,1,0,\frac{1}{2}) \quad(2,1,-1,\frac{1}{2}) \quad(2,1,1,\frac{1}{2})$$
$$(2,0,0,-\frac{1}{2})\quad (2,1,0,-\frac{1}{2}) \quad(2,1,-1,-\frac{1}{2}) \quad(2,1,1,-\frac{1}{2})$$

二、计算和证明（110分）
1、（20分）如图，粒子在深度为$V_0$，宽度为a的直角势阱中运动，求：

（1）阱口刚好出现一个束缚态能级（即$E\approx V_0$）的条件；

（2）束缚态能级总数，并和无限深势阱作比较。

【缺图】【析】2009年828量子力学第二题。曾题集1.4题。

2、（25分）完成以下证明：

（1）设$\vec{A},\vec{B}$为矢量算符，$F$为标量算符，证明
\begin{align*}
  [F,\vec{A}\cdot\vec{B}]&=[F,\vec{A}]\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot[F,\vec{B}]\\
  [F,\vec{A}\times\vec{B}]&=[F,\vec{A}]\times\vec{B}+\vec{A}\times[F,\vec{B}]
\end{align*}

（2）以$\vec{r},\vec{p}$表示位置和动量算符，$\vec{l}=\vec{r}\times\vec{p}$为轨道角动量算符，$\hat{F}=F(\vec{r},\vec{p})$为由$\vec{r},\vec{p}$构成的标量算符。证明
$$[\hat{F},\vec{l}]=i\hbar\vec{r}\times\cfrac{\partial\hat{F}}{\partial \vec{r}}
-i\hbar\cfrac{\partial \hat{F}}{\partial \vec{p}}\times\vec{p}$$

【析】分别是曾题集4.2题和曾题集4.3题。

3、（25分）质量为$\mu$的粒子在中心力场$V(r)=-\cfrac{\alpha}{r^s}\qquad\alpha>0$中运动，
证明存在束缚态的条件为$0<s<2$，再进一步证明在$E\sim0^-$附近存在无限多条束缚态能级。

【析】是曾题集5.1题

4、（20分）一维谐振子，其能量算符为$H_0=-\cfrac{\hbar^2}{2m}\cfrac{d^2}{dx^2}+
\cfrac{1}{2}m\omega^2x^2$，设此谐振子受到微扰作用$H'=\cfrac{\lambda}{2}m\omega^2x2
\qquad |\lambda|\ll 1$。试求各能级的微扰修正（三级近似），并和精确解比较。

【析】是曾题集11.10题

5、（20分）质量为$\mu$的粒子束被球壳$\delta$势场散射，$V(r)=V_0\delta(r-a)$，
在高能近似下，用玻恩近似计算散射振幅和微分截面。

【析】是曾题集14.2题。
